Οι νόμοι του Kirhhoff

Τοπολογικοί ορισμοί

Οι ηλεκτρικές πηγές τάσης και ρεύματος καθώς και οι αντιστάσεις μπορούν να συνδεθούν μαζί με ποικίλους τρόπους και να σχηματίσουν ένα σύνθετο ηλεκτρικό κύκλωμα. Για τη μελέτη των ηλεκτρικών κυκλωμάτων, δίδονται οι παρακάτω ορισμοί:

Κλάδος: Είναι οποιαδήποτε ομάδα συνδεδεμένων στοιχείων που σχηματίζουν ένα σύνολο δυο ακροδεκτών.

Κόμβος: Είναι ο κοινός ακροδέκτης, δηλαδή το σημείο στο οποίο καταλήγουν δυο ή περισσότεροι κλάδοι.

Βρόγχος: Είναι οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή κλάδων. Διακρίνεται σε απλό και μη απλό βρόγχο.

Στο κύκλωμα του σχήματος η αντίσταση R₁ όπως και η πηγή Ε αποτελούν κλάδους του κυκλώματος. Το σημείο ένωσης των αντιστάσεων R₁ και R₂ καθώς και της πηγής Ε αποτελούν κόμβο του κυκλώματος. Η διαδρομή που περιλαμβάνει τις αντιστάσεις: R₂, R₃ και την πηγή Ε αποτελούν βρόγχο του κυκλώματος.

Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff

Για την εύρεση των ρευμάτων και των πτώσεων τάσεων στους κλάδους ενός κυκλώματος κάνουμε χρήση των νόμων του Kirchhoff.

Νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff: Το αλγεβρικό άθροισμα των εντάσεων των ρευμάτων σε κάθε κόμβο του κυκλώματος είναι ίσο με μηδέν.

Δηλαδή, αν σε ένα κόμβο αθροίσουμε τα ρεύματα που εισέρχονται σ' αυτόν με θετικό πρόσημο και τα ρεύματα που εξέρχονται από αυτόν με αρνητικό πρόσημο, το άθροισμα αυτό θα είναι ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα
Στο κυκλώμα του σχήματος είναι γνωστά: Ι=7Α, R₁=10Ω και η τάση στα άκρα της R₁ είναι V_R1=30V. Ζητείται η τιμή του ρεύματος στην αντίσταση R₂.

Ορίζουμε κατεύθυνση αναφοράς ρεύματος στην αντίσταση R₂ όπως στο σχήμα. Για το ρεύμα Ι₁ στην αντίσταση R₁ αυτό ρέει από το θετικότερο  προς το αρνητικότερο άκρο δηλαδή από πάνω προς τα κάτω, ενώ η τιμή του βρίσκεται από το νόμο του Ωμ. Συγκεκριμένα:

R₁ = V_R1 / I₁ => I₁ =V_R1 / R₁ => I₁ = 30V / 10Ω = 3Α

Τώρα, αθροίζουμε τα ρεύματα στο κόμβο. Συγκεκριμένα αθροίζουμε με θετικό πρόσημο το ρεύμα της πηγής ρεύματος Ι διότι εισέρχεται στον κόμβο και τα ρεύματα I₁ και Ι₂ με αρνητικό προσημο διότι εξέρχονται από τον κόμβο και αυτό το άθροισμα μας κάνει μηδέν. Δηλαδή:

Ι - Ι₁ - Ι₂ = 0 Με αντικατάσταση των τιμών: 7Α - 3Α - Ι₂ = 0 => Ι₂ = 4Α

Επομένως το ρεύμα στην αντίσταση R₂ είναι εξερχόμενο και έχει τιμή ίσο με 4Α

Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff

Νόμος τάσεων του Kirchhoff. Το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων σε κάθε βρόγχο ενός κυκλώματος είναι ίσο με μηδέν

Δηλαδή, σε ένα βρόγχο ενός κυκλώματος το αλγεβρικό άθροισμα των πτώσεων τάσεων στους κλάδους του βρόγχου, είναι ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα
Στο κύκλωμα του σχήματος είναι γνωστά: Ε₁ = 10V, Ε₂ = 4V, R₁ = 30Ω, R₂ = 20Ω. Ζητείται η τιμή του ρεύματος στις αντιστάσεις.

Όπως μπορούμε να καταλάβουμε η τιμή του ρεύματος είναι η ίδια σε όλα τα στοιχεία κυκλώματος. Ορίζουμε κατεύθυνση αναφοράς ρεύματος στις αντιστάσεις όπως στο σχήμα. Σημειώνουμε το θετικό και αρνητικό άκρο για την πτώση τάσης σε κάθε αντίσταση με τέτοιο τρόπο ώστε το ρεύμα στην αντίσταση να εισέρχεται στο θετικό άκρο, όπως στο σχήμα.

Ξεκινώντας από το κάτω αριστερό κόμβο και κινούμενοι δεξιόστροφο αθροίζουμε τις πτώσεις τάσης για τον βρόγχο. Κινούμενοι μέσα από τις πηγές Ε₁ και Ε₂ έχουμε αύξηση δυναμικού κατά 10V και μείωση δυναμικού κατά 4V αντίστοιχα. Κατά την κίνηση μέσα από τις αντιστάσεις έχουμε μείωση του δυναμικού, π.χ, στην R₁ κατά ποσότητα I∙R₁ όπως προκύπτει από το νόμο του Ωμ. Δηλαδή:

+Ε₁ - I∙R₁ - Ε₂ - I∙R₂ = 0 => Ε₁ -Ε₂ - (R₁ + R₂)∙I =0 => I = (E₁ -E₂) / (R₁ + R₂)

Με αντικατάσταση προκύπτει Ι = (10V- 4V) /(30Ω + 20Ω) = 0,12Α

Επομένως η τιμή του ρεύματος μέσα από τις αντιστάσεις είναι 0,12Α με φορά την κατεύθυνση αναφοράς.

Εφαρμογή 1

Στο κύκλωμα του σχήματος είναι γνωστά: Ε=50V, R₁=30Ω, R₂=10Ω και R₃=5Ω. Ζητούνται οι τιμές των ρευμάτων και των πτώσεων τάσεων στις αντιστάσεις.

 

Σημειώνουμε κατευθύνσεις αναφοράς ρεύματος στις αντιστάσεις όπως στο σχήμα. Στο σχήμα, επίσης, φαίνονται οι πολικότητες των πτώσεων τάσεων στις αντιστάσεις.

 Στον κόμβο Α εφαρμόζουμε τον νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff ως εξής: Ι₃ - Ι₁ - Ι₂ = 0

Στον αριστερό βρόγχο εφαρμόζουμε τον νόμο των τάσεων του Kirchhoff ως εξής: +Ε - I₃∙R₃ - I₁∙R₁ =0

Στον δεξιό βρόγχο  εφαρμόζουμε τον νόμο των τάσεων του Kirchhoff ως εξής: +I₁∙R₁ - I₂∙R₂ = 0

Με αντικατάσταση των τιμών στις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει το αλγεβρικό σύστημα:

I₁ + I₂ - I₃ = 0
30I₁ + 5I₃ = 50
30I₁ - 10I₂ = 0

Από την λύση του οποίου προκύπτουν οι τιμές των ρευμάτων στις αντιστάσεις: Ι₁ = 1Α, Ι₂ = 3Α και Ι₃ = 4Α

Η πτώση τάση στην αντίσταση R₃ είναι I₃∙R₃ = 4A∙5Ω = 20V, ενώ η πτώση τάση στις αντιστάσεις R₁ και R₂ είναι η ίδια και είναι I₁∙R₁ = I2∙R₂ = 1A∙30Ω = 3Α∙10Ω = 30V

 Εφαρμογή 2

Στο κύκλωμα του σχήματος είναι γνωστά: Ε=100V, Ι=2Α, R₁=15Ω, R₂=10Ω και R₃=40Ω. Ζητούνται οι τιμές των ρευμάτων και των πτώσεων τάσεων στις αντιστάσεις.

 

Σημειώνουμε κατευθύνσεις αναφοράς ρεύματος στις αντιστάσεις όπως στο σχήμα. Στο σχήμα, επίσης, φαίνονται οι πολικότητες των πτώσεων τάσεων στις αντιστάσεις.

Στον πάνω κόμβο εφαρμόζουμε τον νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff ως εξής: +Ι₁ - Ι₂ + Ι₃ = 0

Στον δεξιό βρόγχο εφαρμόζουμε τον νόμο των τάσεων του Kirchhoff ως εξής: +I₂∙R₂ + I₃∙R₃ - Ε =  0

Με αντικατάσταση των τιμών, προκύπτει το σύστημα:

 Ι₂ - Ι₃ = 2
10Ι₂ + 40Ι₃ = 100

Από την λύση του οποίου προκύπτουν οι τιμές των ρευμάτων στις αντιστάσεις: Ι₁ = 2Α, Ι₂ = 3,6Α και Ι₃ = 1,6Α

Η πτώση τάση στην αντίσταση R₁ είναι I₁∙R₁ = 2A∙15Ω = 30V  στην αντίσταση R₂ είναι  I₂∙R₂ = 3,6A∙10Ω = 36V και στην αντίσταση R₃ είναι  I₃∙R₃ = 1,6A∙40Ω = 64V