Άλγεβρα Boole

Ένα κύκλωμα είναι η διασύνδεση ηλεκτρονικών εξαρτημάτων (αντιστάσεων, πυκνωτών, τρανζίστορ κ.τ.λ.) στο οποίο κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Έτσι σε κάθε σημείο του κυκλώματος υπάρχει μια τάση και διαρρέεται από ένα ρεύμα. Σήμα ονομάζουμε την συνάρτηση της τάσης ή του ρεύματος σε ένα σημείο του κυκλώματος με το χρόνο.

Υπάρχουν δύο είδη σήματος το αναλογικό και το ψηφιακό σήμα. Αναλογικό είναι εκείνο που το ηλεκτρικό μέγεθος μπορεί να πάρει τιμές από ένα συνεχόμενο εύρος τιμών, ενώ το ψηφιακό σήμα είναι εκείνο που το μέγεθος μπορεί να πάρει τιμές από ένα διακριτό σύνολο τιμών, συνήθως LOW ή HIGH τιμή. Αναλογικά κυκλώματα είναι αυτά στα οποία σε κάθε σημείο τους το σήμα είναι αναλογικό, ενώ ψηφιακά είναι εκείνα στα οποία σε κάθε σημείο τους το σήμα είναι ψηφιακό.

Στα ψηφιακά κυκλώματα, το σήμα σε ένα σημείο του μπορεί να πάρει LOW ή HIGH τιμή ή ισοδύναμα το κύκλωμα να βρεθεί σε on ή off κατάσταση. Έτσι το σήμα μπορεί να παρασταθεί με μεταβλητές από γράμματα του αλφαβήτου, οι οποίες λαμβάνουν δυο μόνο λογικές τιμές, τη λογική τιμή "1" και τη λογική τιμή "0".

Οι λογικές μεταβλητές όπως ονομάζονται, μπορούν να συνδυαστούν με τις λογικές πράξεις ΝΟΤ('), AND(∙), OR(+) ορίζοντας νέες μεταβλητές οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν με κυκλώματα που ονομάζονται πύλες.  Έτσι μ' αυτό τον τρόπο ορίζονται  οι  λογικές συναρτήσεις, οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν με σύνθετα ψηφιακά κυκλώματα. Οι λογικές συναρτήσεις ακολουθούν ορισμένους βασικούς νόμους και κανόνες, οι οποίοι ακολουθούν μια άλγεβρα που ονομάζεται άλγεβρα Boole που αναπτύχθηκε από το μαθηματικό George Boole.

Στήν Άλγεβρα Boole ορίζονται τρεις βασικές πράξεις: α) Η πράξη ΝΟΤ (ΟΧΙ) με σύμβολο ' β) Η πράξη AND (ΚΑΙ) με σύμβολο . και γ) Η πράξη OR (Ή) με σύμβολο +

Η πράξη ΝΟΤ
Στην πράξη ΝΟΤ συμμετέχει μια μόνο λογική μεταβλητή και το αποτέλεσμα της πράξης είναι το συμπλήρωμα της μεταβλητής αυτής, δηλαδή αν η μεταβλητή έχει την τιμή "0", τότε το αποτέλεσμα είναι "1" και αντίστροφα αν η μεταβλητή έχει την τιμή "1", τότε το αποτέλεσμα είναι "0". Αν Α είναι μια λογική μεταβλητή, τότε η πράξη ΝΟΤ εκφράζεται με την σχέση: Υ = Α'

Η πράξη AND
Στην πράξη AND συμμετέχουν δυο λογικές μεταβλητές και το αποτέλεσμα της πράξης είναι "1", αν και οι δυο μεταβλητές είναι "1". Αν Α και Β είναι δυο λογικές μεταβλητές, τότε η πράξη AND εκφράζεται με τη σχέση: Υ=Α.Β

Η πράξη OR
Στην πράξη OR συμμετέχουν δυο λογικές μεταβλητές και το αποτέλεσμα της πράξης είναι "1", αν τουλάχιστον μια από τις δύο μεταβλητές είναι "1". Αν Α και Β είναι δυο λογικές μεταβλητές, τότε η πράξη OR εκφράζεται με τη σχέση: Υ = Α + Β

Ουδέτερα στοιχεία των πράξεων AND και OR
Το ουδέτερο στοιχείο της πράξης AND είναι το 1 και το ουδέτερο στοιχείο της πράξης OR είναι το 0
x ∙ 1 = 1 ∙ x = x
x + 0 = 0 + x = x

Επιμεριστική ιδιότητα των πράξεων AND και OR

Η πράξη AND έχει την επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πράξη OR και η πράξη OR έχει την επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πράξη AND.           
x ∙ (y + z) = (x ∙ y) + (x ∙ z)
x + (y ∙ z) = (x + y) ∙ (x + z)

Συμπλήρωμα (ΝΟΤ)
Κάθε λογική μεταβλητή x έχει ένα συμπλήρωμα x' με τις ακόλουθες ιδιότιτες:           
x ∙ x' = 0
x + x' = 1

Θεώρημα 1        Θεώρημα 2 
x ∙ x = x             x ∙ 0 = 0 
x + x = x           x + 1 = 1

Θεώρημα De Morgan

(x ∙ y)' = x' + y' και για περισσότερες μεταβλητές (x ∙ y ∙ z)' = x' + y' + z'
(x + y)' = x' ∙ y' και για περισσότερες μεταβλητές (x + y + z)' = x' ∙ y' ∙ z'