DC και AC ισοδύναμα κυκλώματα

Σε γραμμικά κυκλώματα όπως σε κυκλώματα ενισχυτών με τρανζίστορ, μια τάση ή ένα ρεύμα αποτελείται από μια dc και μια ac συνιστώσα. Κάθε μια από αυτές τις συνιστώσες ικανοποιεί το αντίστοιχο ισοδύναμο κύκλωμα. Έτσι σε ένα γραμμικό κύκλωμα το dc ισοδύναμο του, που είναι εκείνο στο οποίο είναι ενεργές οι dc πηγές, αυτό ικανοποιεί τις dc συνιστώσες. Όμοια σε ένα γραμμικό κύκλωμα το ac ισοδύναμο του, που είναι εκείνο στο οποίο είναι ενεργές οι ac πηγές, αυτό ικανοποιεί τις ac συνιστώσες. Σαν απόδειξη παραθέτουμε το θεώρημα της επαλληλίας.

Θεώρημα επαλληλίας: Σ' ένα κύκλωμα με δύο ή περισσότερες πηγές, η τάση (το ρεύμα) κάθε στοιχείου είναι ίσα με το άθροισμα των τάσεων (των ρευμάτων), που προκαλεί κάθε πηγή όταν δρα μόνη της. Κάθε φορά, έχουμε μια μόνο ενεργό πηγή, όλες οι άλλες πρέπει να είναι νεκρές. Νεκρές πηγές τάσης έχουμε όταν οι πηγές τάσης αντικατασταίνονται με βραχυκυκλώματα και νεκρές πηγές ρεύματος έχουμε όταν οι πηγές ρεύματος αντικατασταίνονται με ανοικτά κυκλώματα.

Παράδειγμα

Στο κύκλωμα του σχήματος μια dc πηγή τάσης 12V και μια ac πηγή τάσης με πλάτος  150mV οδηγούν μια αντίσταση φορτίου 1,2ΚΩ. Το dc ισοδύναμο κύκλωμα βρίσκεται αν νεκρώσουμε όλες τις ac πηγές. Βραχυκυκλώνοντας την ac πηγή το dc ισοδύναμο κύκλωμα φαίνεται στο σχήμα Β. Από αυτό η dc συνιστώσα του ρεύματος έχει τιμή Ι = V_L / R_L = 12V / 1,2kΩ = 10mA.

Υπολογίσαμε την dc συνιστώσα και μένει η ac συνιστώσα. Νεκρώνοντας την dc πηγή τάσης βρίσκουμε το ac ισοδύναμο κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα Γ. Η ac πηγή είναι μια ημιτονοειδής πηγή τάσης, επομένως το πλάτος του ac ρεύματος (συνιστώσα) είναι: I_P= 120mV/1,2kΩ=0,1mA.

Το συνολικό ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση είναι το άθροισμα της dc και ac συνιστώσας του ρεύματος. Έτσι το ολικό ρεύμα έχει μια μέση τιμή 10mA που πάνω σ' αυτό υπερτίθεται μια ημιτονοειδής συνιστώσα πλάτους 0,1mA.

Πυκνωτές σύζευξης

Γενικά οι πυκνωτές παρουσιάζουν άπειρη αντίσταση στο συνεχές ρεύμα, δηλαδή είναι ανοικτά κυκλώματα σ' αυτά. Οι πυκνωτές σύζευξης έχουν σχετικά μεγάλη τιμή τέτοια ώστε να είναι βραχυκυκλώματα στο ac ρεύμα.

Πράγματι η αντίδραση ενός πυκνωτή δίνεται από τη σχέση:  X_C=1/(2πfC). Επειδή η συχνότητα του συνεχούς ρεύματος είναι μηδέν η αντίδραση του είναι άπειρη. Αν η συχνότητα του ρεύματος είναι μεγάλη η αντίδραση του πυκνωτή σ' αυτό είναι μικρή. Κατά τη σχεδίαση οι πυκνωτές σύζευξης επιλέγονται ώστε να εμφανίζουν μηδενική αντίσταση στο ac σήμα και άπειρη στο dc σήμα.

Έτσι για την σχεδίαση του dc ισοδύναμου οι πυκνωτές αντικαθίστανται με ανοικτά κυκλώματα, ενώ για την σχεδίαση του ac ισοδύναμου κυκλώματος ο πυκνωτής σύζευξης αντικαθίσταται με βραχυκύκλωμα.

Ο συμβολισμός των dc και ac συνιστωσών είναι ο εξής: Οι dc σταθερές ποσότητες συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα. Π.χ. για να παραστήσουμε μια dc τάση ή ένα dc ρεύμα χρησιμοποιούμε τα σύμβολα V και I αντίστοιχα. Οι ac μη σταθερές ποσότητες συμβολίζονται με πεζά γράμματα. Π.χ. για να παραστήσουμε μια ac τάση ή ένα ac ρεύμα χρησιμοποιούμε τα σύμβολα v και i αντίστοιχα.

Παράδειγμα

Στο κύκλωμα του σχήματος να βρεθεί η ολική τάση στα άκρα της αντίστασης 15Ω.

Το dc ισοδύναμο κύκλωμα βρίσκεται βραχυκυκλώνοντας την ac πηγή τάσης και ανοίγοντας τον πυκνωτή, όπως φαίνεται στο κύκλωμα Β. Από το διαιρέτη τάσης παίρνουμε τη dc τάση στην αντίσταση των 15Ω.

V= 15V15Ω / (15ΚΩ + 15Ω) ~=15mV

Για να βρούμε το ac ισοδύναμο κύκλωμα βραχυκυκλώνουμε την dc τάση, καθώς και τον πυκνωτή. Προκύπτει το κύκλωμα Γ. Επειδή ο παράλληλος συνδυασμός των αντιστάσεων είναι περίπου ίσος με 15Ω, το ac ισοδύναμο κύκλωμα απλοποιείται στο κύκλωμα Δ. Η ac τάση εξόδου v, πάνω στο διαιρέτη τάσης, είναι ημιτονοειδής  και με πλάτος 15mV15Ω(135Ω+15Ω)=1,5mV

H ολική τάση στην αντίσταση 15Ω όταν δρουν όλες οι πηγές είναι το άθροισμα της dc και ac συνιστωσών. Έτσι η τάση αυτή έχει μέση τιμή 15mV στην οποία υπερτίθεται ένα ημιτονοειδές σήμα με πλάτος 1,5mV.

AC αντίσταση

Στο κύκλωμα του σχήματος μια dc πηγή σε σειρά με μια ac πηγή μικρού πλάτους συνδέεται με μια δίοδο. Η πηγή dc προκαλεί ένα dc ρεύμα στο κύκλωμα που αντιστοιχεί στο σημείο Q στη χαρακτηριστική της διόδου. Η πηγή ac προκαλεί ένα μεταβαλλόμενο ac ρεύμα που υπερτίθεται στη dc συνιστώσα του ρεύματος και το σημείο λειτουργίας κινείται γύρω από το σημείο Q και μεταξύ των σημείων Α και Β του διαγράμματος.

Όταν το ac ρεύμα είναι μικρό, η χαρακτηριστική της διόδου μεταξύ των σημείων Α και Β είναι ευθεία γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι η ac τάση και το ρεύμα για μικρές μεταβολές είναι ανάλογα. Έτσι, αν η ac τάση στα άκρα της διόδου διπλασιαστεί, τότε και το ac ρεύμα της διόδου θα διπλασιαστεί.

Ένα ac σήμα θεωρείται μικρό, όταν το πλάτος του από κορυφή σε κορυφή είναι μικρότερο από το ένα δέκατο του ρεύματος ηρεμίας. Για παράδειγμα, για να έχουμε λειτουργία μικρού σήματος με ένα dc ρεύμα 1mA, το πλάτος από κορυφή σε κορυφή του ac ρεύματος πρέπει να είναι μικρότερο από 0,1mA.

Στη λειτουργία μικρού σήματος η δίοδος συμπεριφέρεται σαν αντίσταση. Έτσι στο ac ισοδύναμο κύκλωμα η δίοδος αντικαθίσταται με αντίσταση. Η αντίσταση μιας διόδου για μικρά ac ρεύματα είναι

r_ac = 25mV / I   όπου Ι η dc συνιστώσα του ρεύματος της διόδου.

Παράδειγμα

Στο κύκλωμα του σχήματος να βρεθεί το ολικό ρεύμα i της διόδου.

Λύση

Σχεδιάζουμε το dc ισοδύναμο κύκλωμα όπως φαίνεται στο κύκλωμα Β, γνωρίζοντας ότι ο πυκνωτής είναι ανοικτό κύκλωμα για το συνεχές. Το dc ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα Β, είναι Ι=(12V-0,7V)/8,2KΩ=1,38mA.

Στο ac ισοδύναμο κύκλωμα, η δίοδος αντικαθίσταται με την ac αντίσταση της, που είναι ίση με r_ac=25mV/1,38mA=18,1Ω.  Στο ac ισοδύναμο κύκλωμα η dc πηγή τάσης αντικαθίσταται με βραχυκύκλωμα καθώς και ο πυκνωτής σύζευξης. Προκύπτει το ac ισοδύναμο κύκλωμα Γ.

Αφού η ac πηγή τάσης είναι συνδεμένη παράλληλα με τη δίοδο, προκαλεί ένα ac ρεύμα με πλάτος: I_p = V_p / r_ac =1mV/18,1Ω = 55,2μΑ

Το ολικό ρεύμα στη δίοδο είναι το άθροισμα της dc καθώς και της ac συνιστώσας του, που διέρχεται από αυτήν. Το ρεύμα αυτό έχει dc τιμή ίση με 1,38mA που σ'αυτή την τιμή υπερτίθεται μια ημιτονοειδής συνιστώσα με πλάτος 55,2μΑ.

AC ισοδύναμο κύκλωμα του τρανζίστορ

Η ac αντίσταση της επαφής εκπομπού συμβολίζεται με r_e και η τιμή της προσεγγίζεται με τη σχέση r_e = 25mV/I_E Σημειώνουμε ότι αυτή η σχέση είναι η ίδια με εκείνη που εκφράζει την ac αντίσταση κάθε διόδου. Για παράδειγμα, αν το ρεύμα εκπομπού είναι 1mA, η ac αντίσταση της επαφής εκπομπού είναι 25Ω. Αυτή είναι η αντίσταση που "βλέπει" ένα ac σήμα, όταν εφαρμόζεται στον ακροδέκτη του εκπομπού.

Όπως είναι γνωστό, το ρεύμα βάσης είναι πολύ μικρότερο από το ρεύμα εκπομπού. Επειδή ανάμεσα στη βάση και τον εκπομπό εμφανίζεται ένα ac κέρδος ρεύματος, κάθε αντίσταση στον εκπομπό εμφανίζεται στη βάση β φορές μεγαλύτερη. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η ac αντίσταση εισόδου φαίνεται από τη βάση είναι:  r_ac = βr_e

Αυτή είναι η αντίσταση που "βλέπει" ένα ac σήμα που εφαρμόζεται στη βάση ενός τρανζίστορ, όταν ο εκπομπός είναι γειωμένος. Η αντίσταση r_ac λέγεται σύνθετη αντίσταση εισόδου της βάσης.

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται το ac ισοδύναμο κύκλωμα του τρανζίστορ, που χρησιμοποιείται σε μια ενισχυτική διάταξη CE. Εδώ το τμήμα βάσης - εκπομπού αντικαθίσταται από την αντίσταση εισόδου βr_e . Πράγματι το ρεύμα βάσης είναι περίπου β φορές μικρότερο από το ρεύμα εκπομπού, έτσι κάθε συνθετη αντίσταση στο κύκλωμα εκπομπού πολλαπλασιάζεται επί β, όταν παρατηρείται από τη βάση.

Στο σχήμα δίνεται ένα πληρέστερο ισοδύναμο κύκλωμα του τρανζίστορ, που περιλαμβάνει την κατανεμημένη αντίσταση της βάσης r_b και την εσωτερική αντίσταση r_c της πηγής ρεύματος του συλλέκτη. Συνήθως, μπορούμε να αγνοήσουμε την r_b επειδή είναι μικρή σε σχέση με την βr_e . Με τον ίδιο τρόπο, στα περισσότερα κυκλώματα μπορούμε ν' αγνοήσουμε την r_c , επειδή είναι πολύ μεγαλύτερη από την αντίσταση φορτίου που συνδέεται στο συλλέκτη. Η αντίσταση r_c σχετίζεται με την κλίση των χαρακτηριστικών συλλέκτη. Αν οι χαρακτηριστικές ήταν τελείως οριζόντιες, η r_c θα ήταν άπειρη. Όμως, αφού οι χαρακτηριστικές παρουσιάζουν μια ελαφρά θετική κλίση, η r_c είναι πολύ μεγάλη, αλλά όχι άπειρη.

Στην ac ανάλυση μας δεν θα χρησιμοποιήσουμε τις αντιστάσεις r_b και r_c. Απλώς θα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν αυτές οι ποσότητες κι ότι η αγνόηση τους προκαλεί κάποιο σφάλμα.